高一数学 第一章 集合与常用逻辑用语 笔记整理

• 集合的概念：把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。
• 元素用小写字母表示，集合用大写字母表示
• 集合相等：只要构成两个集合中的元素是一样的，则称这两个集合相等。
• 集合的三要素：确定性，互异性，无序性。
• 空集的表示方式：

• 如果a是集合A的元素，就说a属于A，用符号表示。
• 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，用符号表示。
• 数学中常用的数集及其记法：
  1. 自然数集：
  2. 正整数集：或
  3. 整数集：
  4. 负整数集：
  5. 有理数集：
  6. 负有理数集：
  7. 实数集：
  8. 正实数集：
  9. 负实数集：
  10. 复数集：

• 列举法：大括号，元素，逗号
• 描述法：竖线
  1. {元素的属性|元素满足的条件}
  2. 元素的属性：数字，坐标，点 等
     1. 小写字母默认表示数字，xR可写可不写。
     2. 有序数对默认表示坐标。
     3. 大写字母默认表示点。

• A包含于B：；称A是B的子集。
• 传递性：若，则。
• Venn图：
  1. 用一个圈表示一个集合。
  2. 直观看出两个集合是否有包含关系。
• 空集和它本身，都是一个集合的子集。
• 真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。
• A真包含于B：⫋B
• 集合相等：如果A是B的子集，B是A的子集，那么A=B（集合元素完全相同）。
• 所有的空集都相等。

• 由集合A与集合B的所有公共元素构成的新集合，就叫做集合A与B的交集，记作A∩B。
• A∩B={x|x∈A且x∈B}
• 性质：
  1. A∩B=B∩A
  2. A∩A=A
  3. A∩

• A∪B=B∪A
• A∪A=A
• A∪

• B集合是A集合在全集U中的补集。
• 含有研究问题中所涉及的所有元素，称为全集。
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• 研究数集时，常常用R作为全集。
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• 把符号语言转换为图形语言。把韦恩图的各个部分编号。
• 图形和式子互相转化：关注每一个部分和集合之间的关系。

• 什么是命题：能判断真假的陈述句。
• 在客观上的存在的，但主观上不一定能判断出来。
• 命题的结构：研究对象+对研究对象的某种判断。

• 原命题：若p则q
• 逆命题：若q则p
• 否命题：若非p则非q
• 逆否命题：若非q则非p
• 逆否命题和原命题同真假（用集合证明）。

• 充分条件：“有我就够了”。“若p则q”是真命题，则p是q的充分条件。记作p=>q（推出）。
• 必要条件：“没我就不行”。q是p的必要条件。非q=>非p。
• 充要条件：能互相推出。“<=>”双箭头。

• 如果p=>q，则P是Q的子集。
• 小集合是大集合的充分条件。
• 否命题：若非p则非q
• 逆否命题：若非q则非p
• 逆否命题和原命题同真假（用集合证明）。

• 全称量词：“所有”“都”“任意一个”；
• 全程量词命题：研究对象全部符合。
• 存在量词：“某些”“存在”“有一个”；
• 存在量词命题：至少有一个符合，又叫特称命题。
• “有些”=“至少一个”：如“有些质数是偶数”√。
• 任意：倒过来A
• 存在：反过来E

• 全称量词：“所有”“都”“任意一个”；
• 全程量词命题：研究对象全部符合。